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Abstract: Abstract We give a collection of 16 examples which show that compositions \(g\circ f\) of well-behaved functions \(f\) and \(g\) can be badly behaved. Remarkably, in 10 of the 16 examples it suffices to take as outer function \(g\) simply a power-type or characteristic function. Such a collection of examples may serve as a source of exercises for a calculus course. PubDate: 2022-03-25
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Abstract: Abstract A (possibly illegal) game of chance, which is described in Chap. 14 of Marc Elsberg’s thriller “GREED”, seems to offer an excellent chance of winning. However, as the gambling starts and evolves over several rounds, the actual experience of the vast majority of the gamblers in a pub is strikingly different. We provide an analysis of this specific game and several of its variants by elementary tools of probability. Thus we also encounter an interesting threshold phenomenon, which is related to the transition from a profit zone to a loss area. Our arguments are motivated and illustrated by numerical calculations with Python. PubDate: 2022-02-03 DOI: 10.1007/s00591-021-00315-6
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Abstract: Zusammenfassung Ausgehend vom anschaulichen Begriff des Kontinuums betrachten wir drei klassische Konzepte des Kontinuums und entwickeln für das lineare, geometrische Kontinuum mathematische Modelle, wobei wir vereinfacht eine Strecke betrachten. In allen drei Fällen sind die Teile des Kontinuums linear angeordnet und ihre Ordnung ist dicht. Das Kontinuum des Parmenides ist eine unteilbare Einheit. Das entsprechende Modell der Strecke ist eine Einermenge und somit ohne Lücken. Das Kontinuum des Aristoteles ist potentiell unendlich, aktual endlich oft teilbar und die Teile sind wieder teilbare Kontinua. Das entspreche Modell der Strecke ist isomorph zum angeordneten Körper der rationalen Zahlen. Das hypothetische Kontinuum des Zenon ist aktual unendlich oft teilbar und die Teile sind wieder teilbare Kontinua. Die Teile der Strecke werden mittels transfiniter Rekursion durch fortgesetzte Zweiteilung konstruiert und tragen damit in natürlicher Weise die Struktur eines geordneten, vollen, dyadischen Wurzelbaums. Gleichzeitig wird ein Isomorphismus der Punkte zum nicht-archimedischen angeordneten Körper der surrealen Zahlen konstruiert, dem universellen, absoluten, arithmetischen Kontinuum. Dann gibt es viele infinitesimal kleine und infinit große Strecken. Die Punkte bilden eine echte geordnete Klasse mit intervallvollständiger, aber nicht schnittvollständiger Ordnung, die sehr viele Lücken hat. PubDate: 2022-01-26 DOI: 10.1007/s00591-022-00316-z
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Abstract: Zusammenfassung Nicolaus Cusanus’ Beiträge zur Mathematik des 15. Jahrhunderts betreffen hauptsächlich Kreisquadraturen. Wir besprechen seinen frühesten Versuch auf diesem Gebiet, der zu einer überraschend guten Approximation der Zahl \(\pi\) führt. In seiner Begründung stellt Cusanus Behauptungen auf, die sich, modern gesprochen, in Aussagen über implizite Funktionen übersetzen lassen. Wir beweisen diese Aussagen und diskutieren Joseph Ehrenfried Hofmanns Beweisversuch, der 70 Jahre zurückliegt. PubDate: 2021-11-29 DOI: 10.1007/s00591-021-00313-8
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Abstract: Zusammenfassung Ein Anspruch des mathematischen Modellierungsunterrichts in der Schule sollte es sein, besonders aktuelle Probleme und interessante neue Technologien aus dem Alltag der Schüler/innen einzubeziehen. Dies gilt insbesondere, wenn sie eine didaktische Reduktion auf elementare (schul-)mathematische Inhalte leicht zulassen. Künstliche Intelligenz (KI) zieht sich durch verschiedene Bereiche von Wissenschaft und Technik und verbirgt sich insbesondere hinter zahlreichen Anwendungen unseres Alltags. In diesem Beitrag wird diskutiert, wie ein zeitgemäßer Mathematikunterricht durch die Modellierung realer, schülernaher Probleme aus dem Bereich KI bereichert werden kann. Dazu werden zwei Methoden und deren didaktische Reduktion für den Einsatz in einem computergestützten Mathematikunterricht vorgestellt. Bei der problemorientierten Diskussion beider Methoden werden zwei alltägliche Problemstellungen in den Blick genommen: Zum einen Klassifizierungsprobleme und deren Lösung mithilfe der sogenannten Stützvektormethode (SVM), die auf der Berechnung des Abstandes von Punkten zu Hyperebenen beruht; zum anderen Empfehlungssysteme, die auf einer Matrix-Faktorisierung basieren können. Zu beiden Problemstellungen wurden digitale Lernmaterialien für Oberstufenschüler/innen entwickelt, die im Rahmen von eintägigen Workshops zur mathematischen Modellierung bereits mehrfach erprobt wurden. Die digitale Umsetzung als Jupyter Notebooks wird abschließend beschrieben und steht den Leser/innen als Open Educational Resources unter einer Creative Commons Lizenz zur Verfügung. PubDate: 2021-10-01 DOI: 10.1007/s00591-021-00310-x
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Abstract: Abstract The median triangle theorem states that the three medians of a triangle can serve as the sides of another triangle. This theorem together with other related results from plane geometry are presented, and intriguing questions are set about analogues in higher dimensions. Answers to these questions are also presented, and by this way a reader can smoothly enter to certain issues of tetrahedral and then higher-dimensional geometry. PubDate: 2021-09-22 DOI: 10.1007/s00591-021-00308-5
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Abstract: Abstract Number pyramids are common in elementary school mathematics. Trying to express the value of the top block in terms of the values at the base leads to the binomial coefficients. It also seems natural to ask for the maximal number of odd numbers in a number pyramid of a given size. The answer is easy to state, but the proof is nontrivial: A \(k\) step number pyramid can have at most \(\left\lfloor\frac{k(k+1)+1}{3}\right\rfloor\) odd numbers, which equals two thirds of the number of blocks rounded to the nearest integer. All maximal and almost maximal solutions are given explicitly. To this end, we rephrase the question in terms of colored tilings. In the outlook we present relations to other—mostly geometric—subjects and problems. PubDate: 2021-09-15 DOI: 10.1007/s00591-021-00307-6
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Abstract: Abstract Exponential growth bias is the phenomenon that humans intuitively underestimate exponential growth. This article reports on an experiment where treatments differ in the parameterization of growth: Exponential growth is communicated to one group in terms of growth rates, and in terms of doubling times to the other. Exponential growth bias is much smaller when doubling times are employed. Considering that in many applications, individuals face a choice between different growth rates, rather than between exponential growth and zero growth, we ask a question where growth is reduced from high to low. Subjects vastly underestimate the effect of this reduction, though less so in the parameterization using doubling times. The answers to this question are more severely biased than one would expect from the answers to the exponential growth questions. These biases emerge despite the sample being highly educated and exhibiting awareness of exponential growth bias. Implications for teaching, the usefulness of heuristics, and policy are discussed. PubDate: 2021-08-25 DOI: 10.1007/s00591-021-00306-7
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Abstract: Zusammenfassung Die Spielidee des Monopoly-Spiels ist mehr als 100 Jahre alt. Ein Grund für den beständigen Erfolg ist die Anpassungsfähigkeit der Spielidee. Mittlerweile kann man über 1000 unterschiedliche Versionen unterscheiden. Die zentrale Gefängnis-Regel ist allen Versionen gemein. Unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Spielfelder eines Spielplans sind die Folge. Ziel des Beitrages ist es, den Einfluss der Gefängnis-Regel auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der Größe des Spielplans und der Anzahl an Würfeln beim Monopoly-Spiel zu untersuchen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der 40 Felder des Spielplans der Classic-Version sind bekannt. Im Artikel wird ein allgemeines Modell des Spiels beschrieben, das eine Variation der Anzahl an Feldern und Würfeln erlaubt und eine Untersuchung des Einflusses auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Spielfelder ermöglicht. Die Ergebnisse verdeutlichen den Einfluss der Gefängnis-Regel und das damit verbundene Ungleichgewicht der summierten Aufenthaltswahrscheinlichkeiten zwischen dem oberen und unteren Spielfeldbereich. Insgesamt lässt sich festhalten, dass eine Steigerung der Anzahl an Feldern des Spielplans bei gleichbleibender Anzahl an Würfeln den Einfluss der Gefängnis-Regel und das Ungleichgewicht zwischen den Bereichen des Spielplans vergrößert. Im Gegensatz dazu schwächt eine Erhöhung der Anzahl an Würfeln bei gleichbleibender Anzahl an Feldern den Einfluss der Gefängnis-Regel ab und führt zur Angleichung der summierten Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Spielfelbereiche. PubDate: 2021-05-05 DOI: 10.1007/s00591-021-00302-x
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Abstract: Abstract We model the Lights Out game on general simple graphs in the framework of linear algebra over the field \(\mathbb{F}_{2}\) . Based upon a version of the Fredholm alternative, we introduce a separating invariant of the game, i.e., an initial state can be transformed into a final state if and only if the values of the invariant of both states agree. We also investigate certain states with particularly interesting properties. Apart from the classical version of the game, we propose several variants, in particular a version with more than only two states (light on, light off), where the analysis relies on systems of linear equations over the ring \(\mathbb{Z}_{n}\) . Although it is easy to find a concrete solution of the Lights Out problem, we show that it is NP-hard to find a minimal solution. We also propose electric circuit diagrams to actually realize the Lights Out game. PubDate: 2021-04-21 DOI: 10.1007/s00591-021-00297-5
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