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ISSN (Online) 2554-4470
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  • Les fables d’Ishango, ou l’irrésistible tentation de la

    • Authors: Olivier Keller
      Abstract: Les documents préhistoriques, muets par définition, dégagent un délicieux parfum de mystère. Ils attirent, on les devine chargés de sens, on cherche naturellement à les faire parler, mais il est difficile de décider s’ils ont quelque chose à dire, et, si oui, de les faire parler vrai. Toutes sortes de fictions anachroniques sont en embuscade et l’on peut très facilement se laisser prendre, surtout lorsque celles-ci se camouflent … en vérités mathématiques ! L’os d’Ishango (20 000 ans avant notre ère, Congo) – avec ses encoches – en est un exemple. À partir du moment où l’on a décidé que les paquets d’encoches sont des nombres, il est assez facile, moyennant quelque petits arrangements, de « faire parler » notre os, et même de lui faire dire des choses contradictoires. Cette analyse nous amène à nous interroger sur la nature profonde de la numérisation : qu’est-ce qu’un nombre ' comment passe-t-on d’un signe à un nombre '
      PubDate: 2018-04-20
  • Poiseuille et l’écoulement des liquides dans les capillaires

    • Authors: Pierre-Yves Gires
      Abstract: Jean-Louis Marie Poiseuille (1797, Paris-1869, Paris), médecin physiologiste français, entre en 1815 à l'École polytechnique, qui ferme provisoirement en avril 1816 pour des raisons politiques liées à la Restauration. Ne reprenant pas ses études à Polytechnique, il décide de se consacrer à l'étude de la microcirculation sanguine. En 1840, il présente à l'Académie des sciences un mémoire intitulé « Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides, dans les tubes de très petits diamètres », qui va apporter plusieurs contributions significatives au domaine de la mécanique des fluides ainsi qu’à son application en physiologie.
      PubDate: 2018-04-20
  • Cantor et les infinis

    • Authors: Patrick Dehornoy
      Abstract: En 1874, Georg Cantor publie un article où il démontre qu’il n’existe pas plus de nombres algébriques que de nombres entiers mais que, par contre, il existe strictement plus de nombres réels. Cet article est révolutionnaire car, pour la première fois, l’infini est considéré non plus comme une limite inatteignable mais comme un possible objet d’investigation. Sa descendance est extraordinaire : non seulement il marque la naissance de la théorie des ensembles – en fait une théorie de l’infini – mais il contient déjà en germe le problème du continu qui a occupé toute la fin de la vie de Cantor, et a été et continue d’être le moteur du développement d’une théorie qui a été un temps objet d’une fascination déraisonnable reposant sur un malentendu et est aujourd’hui largement méconnue.
      PubDate: 2018-04-20
  • La méthode de Charles Hermite en théorie des nombres

    • Authors: Michel Waldschmidt
      Abstract: Les méthodes de transcendance ont toutes leur fondement dans ces travaux de Charles Hermite en 1873. On connaissait alors depuis une trentaine d’années des exemples de nombres transcendants, grâce aux travaux de Joseph Liouville (1844), mais ceux qu’il avait exhibés étaient artificiels, construits ad’hoc. La démonstration par Georg Cantor de l’existence de beaucoup de nombres transcendants était nettement moins explicite. Hermite est le premier à démontrer la transcendance d’une constante fondamentale de l’analyse. Sa démonstration allait être exploitée en 1881 par Ferdinand Lindemann, qui donnait ainsi la réponse définitive au problème de la quadrature du cercle. Parmi les mathématiciens de tous les temps, il en est peu qui aient ainsi exercé une influence directe comparable à celle d’Hermite.
      PubDate: 2018-04-19
  • « La nature des choses » selon Eddington, ou la physique dérivée de
           la géométrie

    • Authors: Philippe Stamenkovic
      Abstract: La lecture de l’équation d’Einstein de la relativité générale Gµv = (8πG/c4)Tµv se fait généralement de droite à gauche (lecture « machienne ») : la matière déforme l’espace-temps, i.e. la métrique (le « contenant », représenté par le tenseur de courbure G) est déterminée par la distribution de matière (le « contenu », représenté par le tenseur énergie-impulsion T).
      Eddington en fait une lecture inverse : la physique est littéralement dérivée de la géométrie. Ce n’est pas la matière qui créée une perturbation, mais la matière qui est intriquée à la géométrie : la géométrie est rendue physique, « matérialisée ».Eddington indique : « La matière est un symptôme et non une cause ». C’est une vue idéaliste poussée à l’extrême qu’aura Eddington dans sa carrière de philosophe, et de physicien : elle le marginalisera progressivement dans la communauté scientifique.
      PubDate: 2018-03-29
  • Cantor et les nombres transfinis

    • Authors: Jean-Pierre Belna
      Abstract: Cantor expose les résultats qu’il a obtenus sur les nombres transfinis, c’est-à-dire les cardinaux que sa théorie permet d’attribuer aux ensembles infinis. Il définit aussi la relation d’équipotence, qu’il appelle « équivalence », entre ensembles : deux ensembles sont équipotents s’il existe une bijection de l’un sur l’autre. Il est aussi, à travers cet article, le premier à introduire la notion de produit cartésien de deux ensembles. Il établit une relation d’ordre entre les cardinaux des ensembles transfinis et procède aux différentes opérations avec ces cardinaux : addition, multiplication, exponentiation (soustraction et division font problème dans le cas transfini). Pour montrer l’intérêt de ses définitions, il prouve que si c est le cardinal de l’intervalle [0, 1] de ℝ et ℵ0 celui de ℕ, alors c = 2ℵ0, Cantor, en développant une véritable arithmétique des nombres transfinis, a radicalement modifié le visage des mathématiques.
      PubDate: 2018-03-29
  • À propos du carré magique d’Albrecht Dürer (1514)

    • Authors: René Descombes
      Abstract: 1514. C’est la date du tableau Melencolia de Dürer. Elle figure dans les deux cases centrales inférieures (15 et 14) d’un carré magique 4 × 4. Thème et variations sur le sujet.
      PubDate: 2018-03-29
  • Niels Bohr, le père de l’atome

    • Authors: Ilarion Pavel
      Abstract: 1913 est l’annus mirabilis de Niels Bohr. Il écrit sa « trilogie », fondatrice de son modèle d’atome, toujours en vigueur de nos jours. C’est le premier de ces trois articles qui est commenté ici. 1/ Il y applique la théorie quantique, en inférant que le rayonnement d’un électron tournant autour du noyau est émis par quanta d’énergie égaux à un multiple de hν (où h est la constante de Planck et ν est la fréquence du rayonnement). Ses résultats étaient conformes aux ‘séries de Balmer‘ du spectre d’émission de l’hydrogène. L’année suivante (1914), l’expérience de Franck et Hertz (collisions d’électrons et d’atomes de mercure) prouvera de manière irréfutable que les électrons perdent de l’énergie par quanta, et que les atomes de mercure émettent du rayonnement ultraviolet dont la fréquence est celle calculée par la théorie de Bohr. 2/ Il y donne l’expression des rayons d’orbites électroniques et de leur niveau d’énergie, indexés par un nombre n (quantification des orbites). 3/ Il y esq...
      PubDate: 2018-03-29
  • Euler en défense de Maupertuis à propos du principe de moindre

    • Authors: Jean-Jacques Samueli, Alexandre Moatti
      Abstract: Euler défend en 1753 la paternité de Maupertuis sur le principe de moindre action (énoncé par celui-ci en 1744), contre König qui prétend que c’est Leibniz qui l’a mentionné en premier dans une lettre de 1707 – Euler prétendant que cette lettre était apocryphe… Voltaire s’en mêle et raille Euler comme Maupertuis ! L’article d’Euler montre bien le type d’arguments que peuvent se livrer de tout temps des savants dans une querelle de paternité. Comme par exemple le sophisme prêté par Euler à König : « Le principe de Maupertuis est faux ; et d’ailleurs il est de Leibniz ». La lettre de Leibniz est considérée à présent comme authentique ; et Leibniz avait bien défini l’action et le principe de moindre action (au moins en optique). Il n’a pas développé mathématiquement cette intuition. Maupertuis non plus : mais il l’a énoncé dans sa plus grande généralité – dans une recherche d’universalité nouvelle en physique. Lagrange donnera quelques années plus tard, en 1760, une démonstration et un...
      PubDate: 2018-03-29
  • Le premier article de Galois, élève au collège

    • Authors: Norbert Verdier, Christian Gérini, Alexandre Moatti
      Abstract: Difficile d’évoquer l’actualité des fractions continues, alors que ce concept a quasi disparu dans la pratique actuelle de l’algèbre et dans son enseignement. Mais on gagnerait à s’intéresser aux fractions continues – en sus de leur forme élégante, elles permettent d’exercer une certaine gymnastique d’esprit ! Le présent article de Galois ferait utilement l’objet d’exercices faciles en classe de seconde ou première : les notions de fraction continue périodique, ou à période immédiate, ou à période symétrique sont immédiatement perceptibles et représentables. Marcher sur les traces de Galois pour découvrir ces notions peut motiver certains élèves ! C’est plus facilement abordable que « sa » théorie des groupes…. Et puis les fractions continues comme solutions d’une équation du second degré ont une certaine allure – elles permettent de s’évader du sempiternel calcul de ces solutions par la méthode des discriminants avec ses horribles radicaux…
      PubDate: 2018-03-29
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